今天我们来讨论一下平均数的大小关系。
(相关资料图)
首先明确，在接下来的讨论中，所有涉及到的数都是正数。
对于n个正数a1，a2，…，an，我们定义：
①算术平均数
A=(a1+a2+…+an)/n
②几何平均数
G=(n)√(a1a2…an)
③调和平均数
H=n/(1/a1+1/a2+…+1/an)
④平方平均数
R=√[(a1^2+a2^2+…+an^2)/n]
接下来我们来讨论一下这四个平均数的大小关系。
n个正数的平均数证明起来比较复杂，我们简化为讨论两个正数。
对于正数a、b：
A=(a+b)/2
G=√(ab)
H=2/(1/a+1/b)
R=√[(a^2+b^2)/2]
我们首先讨论算术平均数与几何平均数的大小关系。
(√a-√b)^2
=(√a)^2-2√a√b+(√b)^2
=a-2√(ab)+b≥0
a+b≥2√(ab)
(a+b)/2≥√(ab)
A≥G
进一步
√(ab)≤(a+b)/2
ab≤[(a+b)/2]^2
由(√a-√b)^2=0，可得
a=b
这就是非常重要的均值不等式。
若a＞0，b＞0，则
①a+b≥2√(ab)
②ab≤[(a+b)/2]^2
当且仅当a=b时，不等式取等号。
①当ab为定值S时，a+b的最小值为2√(ab)=2√S；
②当a+b为定值P时，ab的最大值为[(a+b)/2]^2=(P/2)^2=P^2/4；
口诀：积定和小，和定积大
接下来我们来讨论算术平均数与平方平均数的大小关系。
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
2(a^2+b^2)
=(a^2+b^2)+(a^2+b^2)
≥(a^2+b^2)+2ab=(a+b)^2
a^2+b^2≥(a+b)^2/2
(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4
=[(a+b)/2]^2
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2
R≥A
最后我们来讨论几何平均数与调和平均数的大小关系。
2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
a+b≥2√(ab)
1/(a+b)≤1/2√(ab)
2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)
≤2ab/2√(ab)=ab/√(ab)=√(ab)
2/(1/a+1/b)≤√(ab)
H≤G
把以上结论连列起来：
2/(1/a+1/b)≤√(ab)
≤(a+b)/2≤√(a^2+b^2)/2
我们举个简单的例子验证一下这个结论。
令a=2＞0，b=3＞0
H=2/(1/2+1/3)=12/5=2.4
G=√(2×3)=√6≈2.45
A=(2+3)/2=5/2=2.5
R=√[(2^2+3^2)/2]=√6.5≈2.55
H≤G≤A≤R
以上结论都可以从两个正数推广到n个正数，由于证明比较复杂，这里不作详细证明，大家只需要记住结论即可。
n/(1/a1+1/a2+…+1/an)
≤(n)√(a1a2…an)
≤(a1+a2+…+an)/n
≤√[(a1^2+a2^2+…+an^2)/n]
调和平均数≤几何平均数
≤算术平均数≤平方平均数
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